Numérique et continu, d’Euclide à l’IA
Le jeudi de 17h à 19h30, une fois par mois à partir du jeudi 29 octobre 2026.
Lieu : Ens de Lyon, site Monod, salle des commissions.
Pour plus d’information : eric.guichard@ens-lyon.fr ou jean.dhombres@ehess.fr.
Les conférences sont ouvertes à tous les publics. Elles peuvent être suivies à distance: lien visio
Avec le soutien de l’IXXI
Compte tenu de la prégnance de l’IA, une controverse s’engage aujourd’hui sur le rôle du numérique dans la modélisation mathématique, affectant jusqu’à sa pratique.
Si une opposition se manifeste avec ce que représente le continu, moins programmable et donc ne permettant pas une souplesse algorithmique proche de l’expérimentation en physique, il y a aussi bien un regret de la droite réelle et des courbes paramétrées de la géométrie analytique, que du sens du différentiel et de l’espace qui donne l’idée de méthodes directes, au sens de non artificialisées par le calcul.
Je n’adopterai pas un point de vue perspectif dans l’histoire du processus de mathématisation, car ce serait estimer analogues ces débats, alors que l’histoire des mathématiques apprend à constater des changements profonds dans les concepts paraisssant bien établis, et donc des retournements.
Le mot calcul est bien utilisé dans les deux bords que je veux cerner : calcul sur les nombres, calcul sur le différentiel ; mais aussi calcul fonctionnel, qui donne une idée de ce qu’on peut appeler la causalité mathématique par l’établissement de lois, que l’on voyait dès le milieu du XXe siècle comme les lois de morphismes de structures, et qu’aujourd’hui on préfère décrire comme algorithmes.
Mon objectif est de montrer que le débat sur les formes du calcul relève bien du long terme, même s’il aborde des aspects nouveaux. Je choisis certes quelques épisodes, classiques ou non, de la mathématisation, à partir de ce qu’on a appelé la crise des irrationnels au IVe siècle avant notre ère jusqu’aux questions de calculabilité de Turing, en passant par le Calcul différentiel et intégral de Newton et Leibniz et les indivisibles de Cavalieri.
Et si je me m’appuie sur des textes originaux de mathématiciens, n’oubliant pas à chaque fois de situer un contexte, je me sers aussi de quelques analyses philosophiques pour situer quelques grands thèmes quelquefois trop galvaudés, comme pythagorisme, aristotélisme, empirisme, positivisme ou formalisme.
Mais je ne veux pas omettre dans ce parcours une double réflexion que je ne formate pas d’avance, la laissant se déduire des différents thèmes concernés : d’une part sur les formes de l’invention mathématique, notamment par le jeu des analogies ; d’autre part sur le rôle particulier des mathématiques pour promouvoir l’universalité de la pensée humaine, et éventuellement jouer un rôle en faveur de la paix.
La soi-disant crise des irrationnels du IVe siècle avant notre ère révèle-t-elle une déficience du numérique par rapport au continu géométrique ? Peut-on voir la théorie des proportions comme une harmonie ?
L’algorithme ancien des fractions continues et la calculabilité comme forces du numérique, et comme impératif.
Les « indivisibles indéfinis » de Roberval et de Pascal comme renouveau numérique face au géométrisme de Cavalieri dans le cadre d’un débat renouvelé sur la réforme mathématique et le monde « moderne ».
Une histoire des codes à partir de François Viète au XVIe siècle.
Les logarithmes du XVIIe siècle jusqu“au calcul différentiel et intégral, entre tables numériques et lois de la nature, comme jonction du nombre et du continu.
La causalité par les mathématiques et les équations fonctionnelles, en mettant l’accent sur la critique de la loi de Fechner en psychologie.
La place des « Lettres » chez Leibniz et chez Newton en vue de la notion de fonction.
Entre le continu et le dénombrable : qu’a pu signifier l’existence d’infinis distincts ?
La théorie spectrale des opérateurs entre numérique et continu.